熱爾曼的理論 　　熱爾曼是法國女數(shù)學家，柯西和勒讓德的同時代人，她與他們有通訊聯(lián)系，她的定理由于大人物的敬佩而受到歡迎．我們打算說明她的結(jié)果是如何漂亮和靈巧．它的核心是以下定理： 　　定理 令p，q是不同的奇素數(shù)，滿足以下條件： 　　1．對于任意整數(shù)k，kpp(mod q)； 　　2．若x，y，z是整數(shù)，并且 　　xp+yp+zp≡p(mod q) 　　則q整除x，y或者z． 　　那么對于指數(shù)p，F(xiàn)LT第一種情形是真的． 　　定理的證明使用了巴羅——阿貝爾關(guān)系式． 　　熱爾曼的著名定理如下(1823)： 　　定理2如果p是一個奇素數(shù)，使2p+1也是素數(shù)，那么對于p，F(xiàn)LT的第一種情形成立． 　　定理的證明是非常精彩的，它僅涉及初等數(shù)論中的勒讓德符號的計算和費馬小定理，我們把它寫出來，供讀者欣賞． 　　證明 檢驗素數(shù)p和q=2p+1滿足定理1的條件是十分容易的． 　　如果p≡ap(mod q)，計算勒讓德符號，得 　　 于是p≡±1(mod q)，這是不可能的． 　　其次，假設xp+yp+zp≡0(mod q)，和qxyz．因為p=(q-1)／2，應用費馬小定理，則 　　xp≡±1(mod q) 　　yp≡±1(mod q) 　　zp≡±1(mod q) 　　于是0=xp+yp+zp≡±1±1±1(mod q)，這也是不可能的． 　　這就是證明！□ 　　注 素數(shù)模p的二次同余式可以寫成 x2≡α(mod p) 當它有解時，我們就說α是p的平方剩余；否則，當它沒有解時，我們就說α是p的平方非剩余． 　　　 我們有 　　這樣一個好的結(jié)果立即產(chǎn)生幾個推廣．實際上，使用同樣的思想，不過用稍微詳細的分析方法，勒讓德證明如下結(jié)果： 　　定理3對于奇素數(shù)指數(shù)p，F(xiàn)LT第一種情形成立，只要下列數(shù)中之一也是素數(shù)：4p+1，8p+1，10p+1，14p+1，16p+1． 　　由于這個定理，熱爾曼和勒讓德的結(jié)果包含了所有素數(shù)p＜100，從而證實了對于這些素數(shù)的第一種情形．雖然它僅是第一種情形，但它仍表明較以前的種種嘗試有相當大的前進，況且更由于早在1823年它就被證明． 　　這個方法畢竟有它的局限性，它的困難在于給出素數(shù)p，使2kp+1也是素數(shù)，當k是大數(shù)時．其次，方法對于第二種情形不起作用． 　　更現(xiàn)代的結(jié)果由克拉斯涅(1940)和笛內(nèi)斯(1951)給出．克拉斯涅的方法同笛內(nèi)斯的一樣，都不完全是樸素的．實際上，他們使用了近代代數(shù)的成果．這里是克拉斯涅的定理． 　　定理4假設p是一個奇素數(shù)，h是整數(shù)，使 　　1．q=2hp+1是素數(shù)； 　　2．3h； 　　3．3h/2＜2hp+1； 　　4．22h1(mod q)． 　　那么對于p，F(xiàn)LT第一種情形成立． 　　1951年笛內(nèi)斯證明： 　　定理5 如果p是一個奇素數(shù)，h是整數(shù)，不是3的倍數(shù)，h≤55，且使q=2hp+1是素數(shù)，那么對于p，F(xiàn)LT第一種情形成立．

10個最偉大的女數(shù)學家 1.希帕蒂婭（Hypatia，約公元370－415），她出生在埃及亞歷山大，是有史記載的第一位女數(shù)學家。希帕蒂婭的父親是當時有名的數(shù)學家，一些有名的學者常到她家做客，在他們的影響下，希帕蒂婭對數(shù)學充滿了興趣和熱情，10歲時她應用相似三角形對應成比例的原理，首創(chuàng)了用一根桿子及其在太陽下的影子來測定金字塔塔高的方法。19歲就讀完了歐幾里得的《幾何原本》和阿基米德的《論球和圓柱》，同年，她乘商船去雅典求學，在求學期間她成為受人景仰的數(shù)學家。 學成歸國后，她教授數(shù)學和哲學。并對阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》作了詳細的注釋，這些研究直到 17世紀才重新引起數(shù)學家們的重視。除此之外 ,希帕蒂婭還曾設計過觀天儀、流體比重計和壓力測試器等儀器。公元415年，遭到宗教的殘酷殺害。雖然這樣一位為數(shù)學的傳播和發(fā)展作出了卓越貢獻的數(shù)學家一生短暫，但是她的成就，她高尚的思想之光為后來者照亮了前行之路。 2.愛米麗?布瑞杜爾（Emiliede Breteuil ，1706－1749），法國數(shù)學家。她出生在上流社會，父親是國王路易十四的秘書。12歲的時候，愛米麗就已經(jīng)精通拉丁文、意大利語、希臘語和德語，此后她接受了科學和文學全方位的教育。1733年，愛米麗認識了伏爾泰，在戀愛過程中，伏爾泰將笛卡兒、萊布尼茨和牛頓的科學思想傳達給愛米麗。他們合作翻譯了牛頓的《哲學基礎》，首次將牛頓的理論介紹給還沒有高等數(shù)學基礎的讀者。這期間，愛米麗還把一個房間改裝成實驗室，進行物理實驗，不久后她參加了科學院舉行的“火的自然屬性”科學論文大賽，她在征文中首次提出了紅外線輻射理論。當愛米麗的科學成就開始超越伏爾泰時，他們的關(guān)系卻走向了下坡路，不久后她出版了《物理學研究》，她把笛卡兒、萊布尼茨和牛頓的三人的科學理論結(jié)合起來做了歸納。離開伏爾泰之后，愛米麗又將牛頓的《數(shù)學原理》（Principia Mathematical）從拉丁文翻譯成法文，翻譯版本也是當時最權(quán)威的一本。 與她巨大的科學成就對應的，是社會的歧視。法國上流社會中的女性十分嫉妒愛米麗贏得了伏爾泰的愛情，她們常常把她描繪成一個丑陋、粗魯?shù)呐?。在她生命中的最后一年，也就是翻譯《數(shù)學原理》的同年，她死于難產(chǎn)。在她飽受奚落與誤解的一生中，愛米麗依賴她的獨立，敢于追求真理和幸福的巨大勇氣贏得了科學界的理解和尊重。 3.阿涅西(Maria Gaetana Agnesi，1718—1799) ：意大利數(shù)學家。她從小便被認為是個天才，在她家里的聚會中，她總是談及有關(guān)邏輯、機械、化學、植物學、動物學、礦物學以及解析幾何等這些廣泛的話題。11歲時，她已精通各國語言。阿涅澤生性謙虛內(nèi)向，勤奮好學又具有奉獻精神。1738年加入修道會，后來的十四年里，阿涅澤一直專注在數(shù)學的領域里，并寫了些令人贊賞的作品，為整個哲學和科學世界開啟了一扇清新的窗。她最著名的數(shù)學作品《分析講義》，被認為是第一部完整的微積分教科書。教皇貝內(nèi)迪克特十四世還頒給她一面金牌，以表彰她在數(shù)學上的卓越貢獻。 1750年，阿涅澤被任命為波洛尼亞大學的數(shù)學與自然哲學系的系主任，然而她僅接受他們所授與的榮譽頭銜。1751年，阿涅澤正值數(shù)學事業(yè)的顛峰時期，她卻突然停止了所有數(shù)學與科學的研究。她一直照顧她父親直到父親去逝，接著便擔負起照顧和教育她的二十位弟妹之責任。之后，她過著與世隔絕的生活，把她的余年都奉獻給了窮苦貧困的人民。 4.瑪麗蘇菲?熱爾曼（Marie-Sophie Germain，1776—1831），法國數(shù)學家、物理學家。出身巴黎一個殷實的商人家庭，熱爾曼從小熱愛數(shù)學，但不為家庭所鼓勵。身為女性，她被拒于巴黎綜合工科學校大門之外，顧慮到當時普遍存在的對女性科學家的成見，她常常不得不以假名和其他數(shù)學家（比如拉格朗日和高斯等）通信。熱爾曼的求學故事折射出了當時女性求學的困難和自卑。通過不懈的努力，她在聲學、彈性的數(shù)學理論和數(shù)論等方面都取得了出色的成果， 在1816年1月，熱爾曼因提出的“彈性表面理論”的優(yōu)秀論文第一次挑戰(zhàn)了拉普拉斯學派而聲名大噪。高斯堅持將她推薦給哥廷根的教授團,請求頒授一個榮譽博士學位給她，可惜遲了一步，蘇菲於1831 因乳腺癌去逝。 5.奧古斯特?愛達?洛芙萊斯(Augusta Ada Lovlace，1815—1852)，英國數(shù)學家，是著名詩人拜倫的女兒。雖然愛達?洛芙萊斯的名字在數(shù)學史的書上不常見到，但她還是作為世界上最早的計算機程序員而載入史冊。人們用她的名字艾達(ADA)作為一種計算機語言的名稱就是為紀念這位聰明的數(shù)學家。 愛達很小的時候的愛達對數(shù)學就有強烈的興趣和熱情，拜倫喜歡稱呼她為“平行四邊形公主”。10歲那年愛達?洛芙萊斯第一次遇到C?巴貝格，那時她跟著一群成年人去參觀他的實驗室，那些令人驚奇的機器已成為倫敦社會的一種吸引力。愛達使巴貝格留下了深刻的印象，因為她是參觀者中少數(shù)幾個能對他的機器和他的工作提出有理智和思想深度的問題的人之一。在21歲時她寫信給巴貝格，鼓勵他在分析機方面的工作并請求他作為自己的導師。一年后她承擔了一篇論文《論巴貝格分析機》的翻譯任務。她的工作不單是翻譯，還包括長達論文三倍的注解。她對機器作了詳盡的數(shù)學解析，描述了它的部件、開列了其可能的用途。她描述的是一臺尚未存在的計算機，在注解中她甚至為這臺虛有的機器寫下了計算貝努利數(shù)的計算機程序，更為重要的是，她為了巴貝格的事業(yè)傾注了自己的全部熱情。不幸的于1852年罹患了癌癥，英年早逝，時僅36歲。 6.柯瓦列夫斯卡婭?索非亞（Vasilyevna Kovalevskaya ,1850—1891），俄國歷史上第一位女數(shù)學家?？▼I生于莫斯科一個貴族家庭，天性安靜溫和。17歲時就在彼得堡一位海軍學校教師的指導下掌握了微積分。1870年到柏林求學，但當時柏林大學拒收女生，她只好慕名求見名重一時的數(shù)學家魏爾斯特拉斯，后者決定單獨為她授課達四年之久。哥廷根大學鑒于其出色的工作，未經(jīng)答辨，便破格授予她博士學位，使她成為歷史上第一位女數(shù)學博士。 卡婭在38歲時由于對剛體繞定點旋轉(zhuǎn)問題的研究而先后獲得法蘭西科學院和瑞典科學院的褒獎。剛體旋轉(zhuǎn)問題自歐拉、拉格朗日以來長期停滯不前，法蘭西科學院已三次懸賞解決?？峦吡蟹蛩箍▼I的獲獎成為當時的報紙新聞，轟動了巴黎。1889年圣彼得堡科學院選舉柯瓦列夫斯卡婭為院士，為此還專門修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定。卡婭的一個重要貢獻就是對偏微分方程解的存在性和唯一性給出了更一般的結(jié)果，現(xiàn)稱為柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理。不幸的是，一年多以后，她就因患肺炎而在瑞典逝世，年僅41歲。 7.埃米?諾特（Emmy Noether，1882－1935），德國數(shù)學家，被譽為抽象代數(shù)之母。諾特出生在德國一個猶太人家庭，她通往成功的道路，比別人更加艱難曲折。年少的諾特多才多藝，能歌善舞。 25歲時，她在哥爾丹教授的指導下順利獲得博士學位，不久后憑借數(shù)學才能贏得了聲譽。1919年6月，她取得哥廷根大學授課資格。在大數(shù)學家希爾伯特、韋達等人的力薦，她終于在清一色的男人世界——哥廷根大學中取得了教授稱號，從此諾特走上了完全獨立的數(shù)學之路。 1921年她的經(jīng)典論文《環(huán)中理想論》發(fā)表，標志著抽象代數(shù)現(xiàn)代化的開端；物理上，她導出了非常關(guān)鍵而且美麗的結(jié)果，稱為諾特定理。希特勒上臺后對猶太人的迫害變本加厲。1929 年，諾特竟然被攆出居住的公寓。1933 年4月，法西斯當局竟然剝奪了諾特教書的權(quán)利，將一批猶太教授逐出了校園。后來諾特乘船去了美國，1935 年4月14日不幸死于一次外科手術(shù)，年僅53歲。愛因斯坦稱贊諾特是“自婦女開始受到高等教育以來最杰出的最富有創(chuàng)造性的數(shù)學天才”，諾特的名字，已成為億萬婦女獻身科學的象征。 8.瑪麗?卡特賴特（Mary Cartwright ，1900—1998），她是一個多才多藝的英國數(shù)學家被譽為“混沌理論”的創(chuàng)始人。她的父親是牧師，在她11歲時才被送往學校學習?，旣?卡特賴特在中學非常勤奮刻苦，中學畢業(yè)之前就已經(jīng)下定決心終身從事數(shù)學研究。1919年10月瑪麗順利進入牛津?qū)W習數(shù)學，那時整個學校學數(shù)學的只有五個女生。在大二時她參加了一個數(shù)學會，每天晚上都要和數(shù)學家探討數(shù)學難題。大學畢業(yè)后任教四年，1930年，她在數(shù)論專家哈代指導下拿到了牛津大學博士學位。1935年，她被邀請到劍橋大學講授數(shù)學課程，直到退休?，旣?卡特賴特是第一位當選英國皇家學會會員的女數(shù)學家，后來還擔任倫敦數(shù)學學會會長一職?，旣?卡特賴特在教學和研究期間還出版了許多有關(guān)數(shù)學分析和復變函數(shù)方面的書籍。 9.朱莉婭?羅賓遜（Julia Robinson，1918—1985），她出生在美國圣路易斯市，是美國數(shù)學會的首位女會長。1936年她進入圣地亞哥大學學習，1939年進入加州大學伯克利分校深造，獲得博士學位，在1975年她成為該校教授。朱莉婭的丈夫早年曾是她的數(shù)論教授，幫助她打下了非常扎實的數(shù)論基礎。朱莉婭從1948年起開始涉足研究希爾伯特第十問題，1961年朱莉婭和戴維斯（Davis）以及普特南（Putnan）三人合作發(fā)表論文，使這一難題取得關(guān)鍵性突破。1982年，她被選中成為諾特講席(Noether Lecturer)。與其他女數(shù)學家一樣，她一生在追求學術(shù)的過程中遇到過許多坎坷。朱莉婭幼年時屢患疾病，導致身體虛弱，無法生育，這一點曾使酷愛家庭的她陷入極度的痛苦之中，最終是數(shù)學的力量讓她漸漸擺脫了痛苦的陰影。 10.沙菲?戈德瓦塞爾（Shafi Goldwasser，1958— ），以色列密碼學專家。沙菲?戈德瓦塞爾在紐約出生，1979年獲得卡內(nèi)基梅隆大學數(shù)學學士學位，在1983年在加州大學伯克利分校獲得計算機科學博士學位，現(xiàn)任教麻省理工大學。戈德瓦塞爾曾兩次贏得了哥德爾獎。在2001年，她當選為美國藝術(shù)與科學學院院士。2002年沙菲?戈德瓦塞爾曾出席在北京舉行的國際數(shù)學家大會，并在大會上專門做了一個1小時數(shù)學報告。戈德瓦塞爾的研究領域包括復雜性理論，密碼和計算數(shù)論。2007年被選為國際密碼學研究協(xié)會研究員。

我呀

我只知道男的叫高源

“代數(shù)學之母”愛米－諾德

陳蘭